Napredna orijentacija i zakrivljenost Zemlje

 

 

Zakrivljenost Zemlje (mjesto ispod horizonta)

Kada bi nam kao maloj djeci govorili u šali da ljudi u Australiji hodaju naglavačke mi bismo se zbunili, pa na trenutak i povjerovali da je to zaista tako, jer su nam u isto vrijeme govorili da je Zemlja okrugla, što bi nas dodatno "uvjerilo" da ljudi zaista tamo hodaju naglavačke. Još bolja bila je šala iz jednog filma, kada u Americi jedan super-junak udari negativca po glavi, a ovaj probije cjelu Zemlju i izađe "na drugoj strani" negdje u Japanu u nekom parku gdje ga zbunjeni prolaznici gledaju i čude se. Svakom odraslom čovjeku je jasno da je Zemlja okrugla, no postavlja se pitanje - kako si to najlakše možemo predočiti u glavi. U sljedećih nekoliko odlomaka pokušati ćemo vam pomoći da shvatite koliko je Zemlja zaista zakrivljena.

Dali ste se ikada pitali gdje se zaista u odnosu na vas nalazi neki grad za koji znadete da je udaljen 2000 km od vas? Ako pogledate na kartu, smjer toga grada ćete odmah pronaći u odnosu na vas, ali karta vam ne može pokazati koliko stupnjeva ispod horizonta se nalazi taj grad, tj. gdje se on zaista fizički nalazi u odnosu na vas. E baš to ćete od sada znati izračunati i odreditii, pa krenimo.

Sjećam se kada smo u osnovnoj školi gledali na globusu gdje se nalazi Australija u odnosu na nas. Pogledom na globus, koliko toliko možemo dobiti percepciju o poziciji Australije u odnosu na nas jer ona je na sasvim drugom kraju Zemaljske kugle. Međutim većina nas nema pored sebe globus koji može vrtjeti i gledati gdje se što nalazi. A što je još bitnije, ne možemo kupiti toliko velik globus gdje će se moći vidjeti na koliko stupnjeva ispod horizonta se nalazi neki grad udaljen 2000 km. Naime, što je neko mjesto bliže, to gledanje na globus više gubi smisao. Da neznam koliko velik globus imate kod sebe, grad koji je udaljen 2000 km teško da ćete moći percipirati, osim ako ne prislonite vaše oko tik do samog globusa, što postaje već i pomalo smješno.

Stoga valja pronaći neku drugu metodu za određivanje pozicije nekog grada u odnosu na vas dok stojite na Zemlji, a ona se naravno zove matematička jednadžba. Odlučio sam da vas neću gnjaviti sa izvodima kako sam došao do rezultata te jednadžbe nego ćemo ju prikazati gotovu i pripremljenu za upotrebu. Za računanje kuta "a" nekog mjesta ispod horizonta čija udaljenost vam je poznata "l" važi slijedeća jednadžba:

a = l x 0.0045

gdje je:
a [°] - kut tražene točke ispod horizonta, izražen u stupnjevima
l [km] - udaljenost tražene točke od vas, izraženo u kilometrima

Za one mlađe (koji prvi puta to mjere), spomenimo da jednadžba važi samo ako su ispunjena da uvjeta:
1) da ste okrenuti prema zadanoj točci (npr. uz pomoć kompasa)
2) da stojite (ili sjedite) da vam glava bude uspravna tj. okomita na zemlju

Ukoliko imate kartu i ravnalo ili računalni program kao npr. Encarta World Atlas, koji pokazuje udaljenost dvaju mjesta, zabava može početi. Naravno ostaje još samo nabaviti kutomjer. Oni iskusniji mogu ga staviti ispred svojih očiju (ne preblizu) i pogledati gdje se šta nalazi, no ipak preporučam da na jedan A4 papir ucrtate kut u odnosu na gornju dužu stranicu i onda jednostavno postavite papir ispred vaših očiju i pogledate ga tako da ta gornja duža stranica bude kao nišan kroz koji nišanite. Pazite da kutom papira ne ubodete oko, zato kut papira presavinite. Naravno postoji još bezbroj drugih načina da si na nešto ucrtate kut, a oni iskusniji poput astronoma čak niti netrebaju kutomjer. Meni je najzanimljivije izračunavati one bliže gradove. U svakom slučaju, računanje je zanimljivo jer ćete vrlo brzo razviti sliku zakrivljenosti Zemlje i polagano poćeti shvaćati koliko je površina Zemlje uistinu zakrivljena, što i jest svrha ove vježbe.

Primjer: koliko stupnjeva ispod horizonta se nalazi grad Bukurešt u Rumunjskoj? Iz Encarte smo saznali da je grad udaljen oko 900 km od Zagreba. Uvrstimo to u jednadžbu i dobijemo a = 900 x 0.0045 = 4 stupnjeva. Dakle ako pričate o Bukureštu, sljedeći puta kada ruku uperite u tom smjeru ne zaboravite ju spustiti 4 stupnjeva. :-) heh...

Evo sada jedan primjer provjere naše jednadžbe da vidimo dali je ona točna. Naime, da jednadžba bude što kraća, ja sam ju malo "skratio" po cijenu preciznosti. No nemojte brinuti, ona je i dalje toćna. Napravimo sada sljedeću provjeru. Umjesto udaljenosti, uvrstiti ćemo stupnjeve. Odabrali smo mjesto koje se nalazi na 45 stupnjeva ispod horizonta u odnosu od nas (vidi sliku gore). Uvrstimo 45 stupnjeva u jednadžbu i trebali bismo dobiti broj koji iznosi točno 1/4 Zemljinog opsega.

45 = l * 0,0045
l = 45 / 0,0045
l = 10000 km

Srednji Zemljin opseg iznosi 39987.5 km (dobiveno od ekvatorijalnog polumjera 6378.1 km i polarnog polumjera Zemlje 6356.8 km). Obzirom da smo obuhvatili dvije točke koje u odnosu na središte Zemlje zatvaraju kut od 90 stupnjeva, time smo obuhvatili 1/4 opsega Zemlje (puni opseg zatvara 360 stupnjeva). Iz toga je jasno da bismo kao rezultat trebali dobiti 39987.5/4 tj. 9996.875. A mi smo dobili pogrešku od 3 km što možemo potpuno ignorirati iz dva vrlo bitna razloga. Prvi razlog jest taj što smo koristili "srednji Zemljin opseg" koji zapravo ne postoji. Drugi razlog jest taj, što nam jednadžba ne služi za računanje udaljenosti, nego stupnjeva. Gledano u stupnjevima, ne postoji nikakva razlika između 9996.875 i 10000 km. Naime razlika koja postoji ne može se vidjeti ljudskim okom, nego samo instrumentom. Iz tog razloga ja sam skratio jednadžbu na minimalan mogući broj znamenaka, kako bi ju se što lakše zapamtilo. Jednadžba služi nama za zabavu i zadovoljavanje znatiželje, a nikako ne za neki znanstveni eksperiment gdje se rezultat definitivno nebi ispisivao u nekakvim stupnjevima nego vjerovatnije u sekundama stupnja, a što je nama potpuno nepotrebno.

 

 

 

Orijentacija na površini Zemlje

Sjećam se tokom svjetskog nogometnog prvenstva u Japanu, često bi ljudi dok bi pričali o nogometu, rukom obično mahnuli u smjeru istoka kako bi vjerojatno nesvjesno pokazali kako je Japan "tamo". Da. Ako pogledamo na donju kartu (kartu kakvu najčešće vidimo u većini knjiga i medija), čini nam se da je Japan točno na istoku u odnosu na nas. Zapravo siguran sam da bi se i u ovom trenutku većina ljudi dok gleda u donju kartu kladila da se Japan fizički nalazi točno na istoku u odnosu na nas. Ako je netko zainteresiran za oklade, ja mogu odmah dati broj mojeg žiro računa. Ja naime tvrdim da se Japan fizički ne nalazi na istoku nego na sjeveroistoku u odnosu na nas! Jel ima zainteresiranih za okladu?

Iako situacija na ovoj gornjoj karti izgleda očita u korist istoka, da ste stavili novac na istok, izgubili biste okladu. Japan se fizički uopće ne nalazi istočno od nas!! Japan se naime nalazi na sjevero istoku i ako poletite avionom najbrže ćete do Japana doći ako krenete na sjeveroistok! Nije kriv čovjek koji gleda u gornju kartu, kriva je sama karta kao takva jer predstavlja drugačiju projekciju od one u stvarnosti. Naime da bi gornja karta bila točna trebalo bi ju "nalijepiti" na kuglu. I zaista kada gornju kartu nalijepimo na kuglu dobijemo sliku poput ove ispod. Pogledajte sada gdje je Hrvatska, a gdje se fizički nalazi Japan u odnosu na nas. Dali biste se sada kladili?

 

 

Uzmimo sada drugi primjer. Zamislite da putujete avionom od Milana do Montreala. Siguran sam da će 95% ljudi odgovoriti da je najkraći put onaj označen kao put 1. No to je potpuno krivo. Optički djeluje logično da je put 1 najkraći ali to ne znači da takva vrsta logike važi u trodimenzionalnom svijetu (na kugli) na koju je namotana ova karta. Naime najkraći put od Milana do Montreala jest put 2.


put 1


put 2

Mi gledamo u kartu koja predstavlja projekciju koja nažalost ne može predočiti trodimenzionalnu stvarnost. To je karta koju smo "odmotali" sa trodimenzionalnog objekta i pretvorili ju u dvodimenzionalni objekt, što ima svoju cijenu, a to je neizbježna pojava grešaka u prikazivanju stvarnog izgleda pojedinih dijelova karte to više što su oni udaljeniji od ekvatora. Karta svijeta kakvu ste vidjeli gore je potpuno kriva i lažna. Grenland, sjever Rusije, Aljaska i Antartika su potpuno distordirani i krivi. Drugim rijećima mi smo navikli na jedan stereotip karte koja je u stvari potpuno kriva. U skladu s time, mi na takvoj dvo-dimenzionalnoj karti ne možemo nikako vidjeti (pa čak ni pravilno zamisliti) zakrivljenost prostora obuhvaćenog tom kartom.

Pogledajte sada sliku ispod. Zašto ISS (Međunarodna Svemirska Postaja) i drugi slični sateliti idu gore dolje? Kakva to mistična sila zaustavlja ISS na sjeveru Europe i počne ga vući prema dolje? Svatko tko gleda kartu ispod, a ne razumije se u satelite, vjerovatno bi si postavio isto pitanje. Kada gledamo u donju sliku, djeluje nam kao da neka sila privlači ISS prema ekvatoru i ljulja ga gore-dolje od ekvatora. No to je u biti potpuno kriva i lažna slika! ISS ne ide gore dolje zato što ga ekvator privlači. Sve što ISS radi jest da kruži oko Zemlje kutom koji je određen inklinacijom i koji u ovom slučaju iznosi 51.6 stupnjeva. I to je sve. On kruži oko Zemlje pod tim kutom u odnosu na ekvator, a karta je ta koja prikazuje lažnu sliku, jer kao što smo ranije naučili, mi na dvodimenzionalnoj karti ne možemo vidjeti treću dimenziju tj. zakrivljenost te karte. Kada bismo donju kartu namotali na kuglu, vidjeli bismo da putanja ISS-a izgleda kao prsten koji opasuje Zemlju.

 

 

 

Izbočina karte

Gledajući neku kartu na zidu, dali ste se ikada pitali koliko bi ta karta trebala biti u sredini izbočena, obzirom da je Zemlja okrugla. Objasnimo za početak što podrazumijevamo pod pojmom izbočina. Na donjoj slici imamo primjer ravne karte označene horizontalnom crvenom crtom koja obuhvaća područne označeno lukom iznad te crvene linije. Nemojte krivo shvatiti donju sliku. Ona ne predstavlja sliku unutrašnjosti zemlje, nego ravnu površinu papira na kojoj je nacrtana karta područja koje je obuhvaćeno plavim lukom.

Dužina tog luka iznosi 9997 km što je namjerno izabrano kao 1/4 opsega Zemlje. A kao što smo ranije rekli, 1/4 promjera Zemlje obuhvaća područje od 90 stupnjeva. Ove brojeve nismo slučajno izabrali, već zato da pojednostavimo stvari. Naime iz formule kružnog isječka moguće je odrediti visinu ispupčenja sredine karte, koja je na slici označena debljom vertikalnom crvenom crtom. Upravo tu formulu smo koristili kao osnovu za našu prerađenu i pojednostavljenu verziju, obzirom da formula kružnog isječka traži neke stvari s kojima se ne želimo zamarati kao što je na primjer kut između točke A i B u odnosu na središte Zemlje što u ovom slučaju iznosi 90 stupnjeva. Formula kružnog isječka tako kaže da je visina "ispupčenja" v = 2 * r * sin2(a/2), pri čemu je r polumjer kruga a "a" kut između dvije točke (npr. A i B) u odnosu na središte kružnice. Za navedene jedinice gdje je "a" = 90 stupnjeva i uz poznat srednji promjer Zemlje od 6367.45 km dobivamo da "izbočina" iznosi 1865 km. No ne pada nam na pamet mučiti ljude sa tako kompliciranom jednadžbom, pa ćemo malo srediti stvari da to sve skupa bude malo više "user friendly". Kada sredimo stvari u toj jednadžbi dobivamo jednu novu, koja nas više neće mučiti sa kutom "a" (ma gdje bismo došli da ga moramo nepotrebno računati za svaku kartu), nego ćemo umjesto kuta unijeti udaljenost od ruba do ruba karte. Na kraju dobivamo da izbočinu neke karte kojoj poznamo mjerilo računamo prema sljedećoj jednadžbi:

v = 12735 x 106 x m x sin2(l x 0.00225)

gdje je:
v [mm] - izbočenost karte u sredini, izraženo u milimetrima
l[km] - udaljenost od ruba do ruba karte, izraženo u kilometrima
m - mjerilo karte (npr. za mjerilo 1:500 000, m=1/500000 tj. 0,000002)

Pod pojmom udaljenost od ruba do ruba misli se na dvije točke koje obuhvaćaju sam rub karte. Na primjer ako neka karta obuhvaća područje 500x500km to znači da su dvije krajnje točke od ruba do ruba karte udaljene 500km (l=500). Da bismo ustanovili udaljenost od ruba do ruba karte koristiti ćemo se na primjer ravnalom. Kako se ravnalom određuje udaljenost dviju točaka na karti u mjerilu, savladali ste (ili savladati ćete) u osnovnoj školi pa na to nećemo trošiti riječi. 

 

[Povratak na Svemir u UČIONICI]