g = 9.81, 9.83, 9.78...

Znamo da je na različitim dijelovima zemljopisne širine Zemlje različita akceleracija slobodnog pada g. Dali ste se ikada pitali zašto je tome tako? Koliko bi se razlikovale te vrijednosti kada se Zemlja ne bi vrtjela oko svoje osi?

Poznato je da je Zemlja spljoštena na polovima i to za razliku u radijusu (pol - ekvator) od 22 km. Dakle, na polovima je Zemlja "kraća" za 44 km u odnosu na ekvator ("širinu").

Isto tako znamo da se Zemlja vrti oko svoje osi, a to znači da na nas djeluje centrifugalna sila koja nas malo "diže" baš kao što bi nas vrtuljak u svakom trenutku mogao odbaciti prema van ako ga prestanemo držati, ili ako ga netko zavrti do takve brzine da nas ni ruke više ne mogu zadržati na njemu.

Na promjenu akceleracije slobodnog pada g na našem planetu učestvuju dvije stvari. Spljoštenost Zemlje (različita udaljenost od središta) i centrifugalna sila. Pogledajmo sada koliko one utječu na promjenu g, te koja od njih ima veći utjecaj na tu promjenu.

Centrifugalna sila je inercijska sila koja djeluje na tijelo koje se giba po kružnici, a usmjerena je radijalno (od središta prema van). Kod planeta imamo slučaj da je centrifugalna sila proporcionalna udaljenosti od osi rotacije. Iz toga slijedi da će sila biti najveća na ekvatoru dok će na polovima biti jednaka nuli.

Sada kada to znamo, možemo izračunati jakost centrifugalne akceleracije, kako bismo vidjeli koliko ona umanjuje akceleraciju slobodnog pada na ekvatoru. To je upravo i dio odgovora na naše pitanje zašto je g različit na različitim zemljopisnim širinama Zemlje. Na raspolaganju su nam sljedeće poznate vrijednosti.
 

Određivanje centrifugalne akceleracije

U jednadžbu za centrifugalnu akceleraciju koja glasi

uvrstimo polumjer Zemlje na ekvatoru r i vrijeme T potrebno da tijelo napravi jedan krug, a ono iznosi 24 sata što je jednako 86400 sekundi. Iz toga dobivamo:

a_cf = 0.0337 m/s²

Spljoštenost zemlje

Sada nam još ostaje ustanoviti koliki utjecaj na g ima spljoštenost Zemlje. Izraz za težinu objekta mase m na površini Zemlje glasi:

gdje je m_o masa objekta; g je akceleracija slobodnog pada.

Obzirom da se objekt mase m_o nalazi na određenoj udaljenosti r_z od središta Zemlje mase m_z, između njih postoji privlačna sila koja je određena općim zakonom gravitacije koji glasi:

Iz ovoga je odmah jasno da su na površini Zemlje izraz za težinu i opći zakon gravitacije jednaki. Kada ih međusobno izjednačimo

poništavanjem mase objekta m_o dobijemo da je akceleracija slobodnog pada određena formulom:

gdje je m_z masa Zemlje; r_eq ekvatorski radijus Zemlje; r_pol polarni radijus Zemlje;
G gravitacijska konstanta (6.67259 10^-11)

Kako su polumjeri Zemlje prema ekvatoru i polu različiti, mi ćemo izračunati razliku tih dviju akceleracija koju ćemo odrediti izrazom:

Iz toga slijedi da spljoštenost Zemlje ima učinak na razliku akceleracije slobodnog pada:

Dg = 0.068 m/s²

Rezultati

Kao što smo već rekli, na razlike akceleracije slobodnog pada učestvuju dva faktora. Spljoštenost Zemlje i rotacija Zemlje oko svoje osi. Spljoštenost Zemlje ima dva puta veći učinak na akceleraciju slobodnog pada g no što to ima rotacija Zemlje. Konkretno u brojevima:

1. Spljoštenost Zemlje stvara razliku od 0.068 m/s² između pola i ekvatora - tj. na ekvatoru je g manji za navedenu vrijednost.
2. Rotacija Zemljie stvara razliku od 0.0337 m/s² između pola i ekvatora - tj. na ekvatoru je g manji za navednu vrijednost.

Kada se te dvije vrijednosti zbroje, dobije se da ukupna varijacija gravitacije između pola i ekvatora iznosi oko 0.1017 m/s². Ako uzmemo da je srednja vrijednost za g=9.80 može se reći da je g jednak:

g = 9.80 ± 0.1017 m/s²

Zaključak

Kada Zemlja ne bi bila spljoštena, nego savršena kugla, razlike u g svele bi se samo na razlike uslijed centrifugalne sile. Tada bi g varirao u jako malim vrijednostima od najviše 0.03 m/s². Ukoliko se pak Zemlja nebi okretala oko svoje osi, razlike u g iznosile bi 0.068 m/s².

Provjerimo još dali su naši proračuni jednaki izmjerenim vrijednostima. Na polu je izmjerena vrijednost g = 9.83217 m/s². Iz općeg zakona gravitacije gdje gravitacijska sila pada s kvadratom udaljenosti, jasno je da pol koji je bliže središtu Zemlje mora imati i veći g. to znači da od vrijednosti g na polu, moramo oduzeti Dg kako bismo izračunali g na ekvatoru. Ekvator je naime dalji od središta Zemlje, dakle veća udaljenost, manja sila.

9.83217 - 0.068 = 9.76417 m/s²

Nakon toga moramo još od tog broja oduzeti i vrijednost centrifugalne akceleracije, jer smo rekli da nje na polovima nema obzirom da je tamo udaljenost od osi rotacije jednak nuli. Očekivana vrijednost akceleracije slobodnog pada g na ekvatoru jest:

9,76417 - 0,0337 = 9.73 m/s²

Usporedimo naš rezultat sa izmjerenom vrijednošću (blizu ekvatora). Akceleracija slobodnog pada u Panamskom kanalu 6° sjeverne zem. širine, na nadmorskoj visini 6m iznosi 9.78 m/s².

Možemo konstatirati da smo dobili rezultat koji nije tako blizu izmjerenoj vrijednost, no cilj nam nije bio doći do točne vrijednosti, nego pokazati o kojim se veličinama radi, kojeg reda jakosti su one i u kojem su međusobnom odnosu veličina. Zašto je došlo do pogreške, obješnjeno je u sljedećem poglavlju - bitno je napomenuti da ona nije matematičke prirode (mi smo sve dobro proračunali).

Gravitacijska karta Zemlje - (c) NASA

Gravitacijska karta

Kada govorimo o točnosti naših izračunatih rezultata i stvarnih mjerenja, treba biti upoznat s činjenicom da je Zemlja zapravo jako 'grudasta' a to važi i za njeno gravitacijsko polje koje ocrtava njen oblik. Tome također pridonosi i različita gustoća tla. Na istoj zemljopisnoj širini, dakle tamo gdje očekujemo da bi g trebao biti svugdje jednak, ustanovljene su poprilične razlike i odstupanja. Trenutno je u izradi nova gravitacijska mapa Zemlje koju će izvesti dva satelita imenom Grace.